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1、1)因为AB=AC,P是BC的中点所以AP⊥BC,且AP=CP(三线合一)在直角三角形ABP中，由勾股定理，得AB^2=AP^2+BP^2即AB^2-AP^2=BP^2=BP*CP2)过A作AF⊥BC,垂足为F下面以P在线段BF上为例。
2、即P靠近点B,其它同理，在直角三角形ABF中，由勾股定理。
3、得AB^2=AF^2+BF^2在直角三角形APF中，由勾股定理，得AP^2=AF^2+PF^2,两式相减。
4、得，AB^2-AP^2=(AF^2+BF^2)-(AF^2+PF^2)=BF^2-PF^2=(BF+PF)(BF-PF)因为AB=AC,AF⊥BC所以BF=CF(三线合一)所以(BF+PF)(BF-PF)=(FC+PF)(BF-PF)=BP*PC 3)若P是BC的延长线上一点，线段AB.AP.BP.CP关系为AP^2-AB^2=BP*PC 理由过A作AF⊥BC,垂足为F下面以P在线段BC的延长线上为例。
5、其它同理，在直角三角形ACF中，由勾股定理。
6、得AB^2=AC^2=AF^2+PF^2在直角三角形APF中，由勾股定理，得AP^2=AF^2+PF^2,两式相减。
7、得，AP^2-AB^2=(AF^2+PF^2)-(AF^2+FC^2)=PF^2-FC^2=(PF+FC)(PF-FC)因为AB=AC,AF⊥BC所以BF=CF(三线合一)所以AP^2-AB^2=BP*PC。
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